Fondamenti della meccanica atomica
Come centro del pacchetto si definisce il baricentro di |f|2, cioè il punto le cui coordinate x, y, z sono date da
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notare che la possibilità di separazione delle variabili è relativa al sistema di coordinate scelto: operando un cambiamento di coordinate (p. es., da
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punto di coordinate : potremo allora dire che, come la posizione del fotone è indeterminata nello spazio x, y, z, e la sua densità di probabilità nei vari
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dove è la distanza di F dal piano xy. Così le coordinate x ed y restano determinate con un' incertezza dell' ordine di grandezza di r:
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intendiamo che nella U, nella ed in tutte le altre quantità che eventualmente interverranno, figura (oltre t) una sola delle coordinate spaziali, p
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Se si osserva che ciascuno dei tre primi termini dipende da una sola delle coordinate, si riconosce che, affinchè l'equazione sia soddisfatta
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x e da t: interverranno dunque ora tre coordinate spaziali, oltre il tempo.
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Consideriamo ora una particella soggetta ad una forza centrale: converrà evidentemente servirsi di coordinate polari aventi il polo nel centro di
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L'equazione di Schrodinger (127), esplicitando l'operatore in coordinate polari, si scrive
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Introducendo le coordinate polari si ha evidentemente
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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sistema di coordinate lagrangiane , (che, in particolare, possono essere coordinate cartesiane delle singole particelle, se si tratta di un sistema di
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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coordinate polari nel piano), allora si considera come periodo relativo a questa coordinata il tempo richiesto perchè essa aumenti di . Si dice allora
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Poichè un sistema meccanico può riferirsi a infiniti sistemi di coordinate lagrangiane, sorge la questione: se invece del sistema delle q, si adotta
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Nella trattazione dei sistemi degeneri vi è dunque una certa arbitrarietà nella scelta del sistema di coordinate: ci si lascia perciò guidare
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b) Condizioni di Sommerfeld. - Osserviamo che il sistema è doppiamente degenere (poichè le tre coordinate variano tutte con lo stesso periodo). Per
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semplice adottando come coordinate lagrangiane del sistema le coordinate polari del nucleo rispetto al baricentro (), e le coordinate polari
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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, o un impulso, o una qualunque funzione g (q, p) delle coordinate e degli impulsi, come p. es. il momento angolare o l'energia. Tale valore però
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Vediamo ora come si può trasportare questa nozione nella meccanica quantistica. Se noi assegnamo, p. es., le coordinate di un sistema di particelle
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. es., se si sono misurate le tre coordinate di una particella al tempo t = 0, lo stato della particella per tutto il tempo successivo (finchè essa
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delle coordinate e delle velocità quello di altrettante loro funzioni indipendenti, si ha una rappresentazione dello stato in tutto equivalente alla
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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Sia N il numero delle particelle: le loro 3N = f coordinate saranno indicate talvolta con e talvolta, se farà comodo, con . Si dovrà (generalizzando
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funzioni Uk, ciascuna contenente le coordinate di una sola particella e quindi anche l'operatore (86) si spezza nella somma di N operatori , ciascuno
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Dunque lo spezzarsi dell'hamiltoniana nella somma di N termini ciascuno dei quali dipende dalle coordinate di una sola particella porta con sè la
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Siano le coordinate del nucleo, quelle dell'elettrone (rispetto ad assi fissi qualunque) e siano i momenti rispettivamente coniugati a queste
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e le tre coordinate dell'elettrone rispetto al nucleo
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Esprimiamo questo operatore, invece che con le sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
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Sostituendo in (93) si vede che i termini con le derivate miste si elidono, e analogamente per le altre coordinate, e resta
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Ora, avendo già riconosciuto che gli operatori corrispondenti alle coordinate sono le stesse, e quelli corrispondenti ai momenti sono , possiamo
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coordinate cartesiane e i momenti coniugati . In molti casi però è più comodo procurarsi l'espressione classica di G mediante coordinate lagrangiane qualunque
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che, espresso in coordinate polari, si scrive:
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In coordinate cartesiane invece è e l'operatore corrispondente è, come è ben noto,
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P. es., nel caso di un punto nel piano non soggetto a forze, usando le coordinate polari e i rispettivi momenti l'espressione dell'hamiltoniana
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moltiplicarla per un opportuno fattore); determinare le coordinate del baricentro di un corpo equivale a misurare le coordinate delle singole molecole e
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Valgono dunque, in media, le equazioni di HAMILTON. Per esempio, per un punto in coordinate cartesiane, si ha
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Ricerchiamo ora le autofunzioni e gli autovalori di questi operatori. Prendiamo p. es. : osserviamo che, se si introducono coordinate polari , con
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caso il potenziale U, espresso in coordinate polari, deve risultare indipendente da , e quindi l'hamiltoniano non contiene ed è perciò permutabile con
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Si rammenti ora che l'operatore di LAPLACE in coordinate polari è espresso da
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possono paragonare alla trattazione della meccanica con l'uso di un particolare sistema di coordinate. E precisamente, nel caso della meccanica ondulatoria
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le operazioni di somma e prodotto tra matrici definite con le regole del § 6. In particolare, tra le matrici e rappresentanti le coordinate e i
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Moltiplicando per , e integrando su tutto il campo di variabilità delle coordinate si ha (ricordando l'ortogonalità e la normalizzazione delle , e
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e che , come risulta dalla (284), è permutabile con , con , e anche con V (perchè, come si è visto al § 30, in coordinate polari , e V è indipendente
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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dove e ua sono funzioni delle coordinate, ma non di t, ed E, e Ea sono dati da (378) e (378'). Sostituendo in (382), e ponendo
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ora considerato a parte: similmente sta per le tre coordinate di posizione . Il fattore soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Le considerazioni precedenti ci hanno condotti a dividere gli stati antisimmetrici (rispetto allo scambio di tutte le coordinate) in due classi, a
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Accademia della crusca
